Функцин тăхăмĕ

Функцин тăхăмĕ е функцин тухсатăранĕ (вăл шутра: функцин уйрăм пăнчăри тăхăмĕ) — дифференциаллă шутлавăн тĕп ăнлавĕсенчен пĕри. Уйрăм пăнчăра функци еплерех хăвăртлăхпа улшăннине кăтартать.

Пĕр пăнчăран (аргументран) тепĕр пăнчăна куçнăçемĕн функцин тăхăмĕ улшăнса пынине иллюстрацилесе кăтартни

Ку терминăн урăх пĕлтерĕшсем пур, Тăхăм (пĕлтерĕшсем) пăхăр.

Пĕр-пĕр $x_{0}\in \mathbb {R}$ пăнчăн таврашĕнче $f$ функци пур тейĕпĕр ($U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$); $f$ функцин $x_{0}$ пăнчăри тухсатăранĕ, тăхăмĕ тесе çакăн пек чăннипех те пур чикке калаççĕ: $f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}.$

Кунта: $\mathbb {R}$ — чăн хисепсен йышĕ, ${\Delta x}$ — функцин аргуменчĕ хушăнни, $U(x_{0})$ вара $x_{0}$ пăнчăн таврашне палăртать.

Тата акă мĕн: $y=f(x)$ функцин $x_{0}$ пăнчăри тухсатăранне çырура тĕрлĕ майпа паллă тума пулать:

$f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).$

Тăррине пăнчă лартса паллă тăвасси аргуменчĕ вăхăт (t) чухне йăлана кĕнĕ. Функцин тухсатăранĕ — хăй те функци. Эппин унăнне те тухсатăранне тупма пулать, енчен те вăл пур пулсан. Малалла та çавăн пек. Çапла вара иккĕмĕш тухсатăран, виççĕмĕш тухсатăран, тăваттăмĕш тухсатăран,..., n-мĕш тухсатăран пирки те калаçма май пур.

Функцин тăхăмне тупнине (çавнашкал ĕçхĕле) дифференцилев теççĕ, анчах та вăл сăмахăн урăх пĕлтерĕшсем те пур.

Истори

Классикăлла дифференциаллă шутлавра тăхăма чикĕ урлă палăртаççĕ, анчах истори енчен чикĕсен теорийĕ дифференциалла шутлавран каярах çуралнă. Вăхăт шăвăмĕ май, тăхăма малтан кинематикăлла (хăвăртлăх пек) е геометрилле (сĕртĕнекен йĕрĕн тайăмĕ пек) ăнлантарнă. Ньютон тăхăма флюкси тенĕ, функци символĕ çинчи пăнчăпа кăтартнă. Лейбниц шкулĕнче никĕсри ăнлав дифференциал пулнă.

Вырăс чĕлхинчи «производная функция» термина чи малтан В. И. Висковатов кĕртнĕ, вăл ăнлав французла dérivée термина вырăсла тÿррĕн (калькăласа) куçарни пулать, лешĕнпе вара Лагранж усă курнă.

Тăхăмсен таблици

Капашлă функцисен тăхăмĕсем	Тригонометрилле функцисен тăхăмĕсем	Тригонометрилле кутăнла функцисен тăхăмĕсем	Гиперболăлла функцисен тăхăмĕсем
$\left(const\right)^{(n)}=0$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2}})$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2}})$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a$	$\left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x$	$\left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}$	$(\tanh x)'=\operatorname {sch} ^{2}x$
$\left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}$	$\left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	$\left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}$	$(\coth x)'=-\operatorname {csch} ^{2}x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}\ln a}}$	$\left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}$
$(\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}}$	$\left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}$

Çавăн пекех

• Харпăр тăхăм
• Хутăш харпăр тăхăм