Кутăнла функцин тăхăмĕ

Кутăнла функцин тăхăмĕ. Сăмахран, $(a,b)$ интервалта $x$ аргументлă $y=f(x)$ функци пур, тейĕпĕр . Енчен те $y=f(x)$ танлăхра $y$ аргумент, $x$ вара функци пулсан, пирĕн умра çĕнĕ $x=\phi (y)$ функци пулать, — кунта $f[\phi (y)]\equiv y$.

Леш $x=\phi (y)$ функци вара, малтанхи $y=f(x)$ функци тĕлĕшпе, кутăнласкер.

Теорема (кутăнла функцие дифференцилес тĕлĕшпе)

Дифференциленекен тата нуль мар $y'_{x}(x)$ тăхăмлă $y(x)$ функцишĕн, кутăнла $x(y)$ функцин $x'_{y}(y)$ тăхăмĕ малтан асăннă функцин $x(y)$ пăнчăри кутăнла капĕпе тан, урăхла каласан

$x'_{y}(y)={\frac {1}{y'_{x}(x(y))}}$

Ĕнентерÿ  

Пусть $y=f(x)$ — дифференцируемая функция, $y'_{x}=f'(x)\neq 0$.
Пусть $\Delta y\neq 0$ — приращение независимой переменной $y$ и $\Delta x$ — соответствующее приращение обратной функции $x=\phi (y)$.

Напишем тождество

${\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Переходя в этом равенстве к пределу при $\Delta y\to 0$, которое влечет за собой стремление $\Delta x$ к нулю ($\Delta x\to 0$), получим:

$\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow x'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}$, где $x'_{y}$ — производная обратной функции.

Асăрхаттарни

Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}$

Тĕслĕхсем

• $y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},$

$y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

• $y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},$

$y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.$

Çавăн пекех

• Функцин тăхăмĕ
• Тухсатăрансен таблици
• Хутлă функцин тухсатăранне тупасси
• Дифференциленекен функци
• Ньютон—Лейбниц формули
• Тăхăмăн геометрилле тупсăмĕ
• Харпăр тăхăм

Литература

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0