Матрица (математика)

Ку терминăн урăх пĕлтерĕшсем пур, пăхăр Матрица (пĕлтерĕшсем).

Матрица — ункă е уй элеменчĕсене урлă (вертикаллĕ) тата тăрăх (горизонталлĕ) йĕркесем евĕр çырса тухнă тата хăй тÿркĕтеслĕх пек математикăлла объект. Горизонталлĕ йĕркисене йĕрке теççĕ, вертикаллисене — юпа.

m × n хапаллă матрица: m чухлĕ йĕркесем горизонтальпе тата n чухлĕ юпасем вертикальпе. Кашни элемента иккĕлле индекссемпе кăтартнă. Сăмахран, a_2,1 элемент иккĕмĕш йĕрке тата пĕрремĕш юпа хĕресленнĕ тĕлте вырнаçнă

Виçкĕтеслĕхлĕ матрицăсене ÿкерчĕклесе кăтартни. Симĕс пăнчăллă шакмаксем нуль мар элементсене, пушшисем нульпе тан элементсене кăтартаççĕ

Кунта A тата B матрицăсене хутлани хыçççăн хайхи C = AB хутлавлăх пулнине ӳкерчĕклесе кăтартни

Сăмахран, акă пĕр матрица; унăн элеменчĕсем — тулли хисепсем:

${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}},$ тăрăх йĕркесенче виçшер элемент, урлă йĕркесенче икшер элемент.

Матрицăсем тĕлĕшпе ак çакнашкал алгебрăлла операцисем палăртнă:

• матрицăсене хушасси, пĕр хапаллă объектсемпе пулса иртет;
• матрицăсене хутлани, вăл хапа тĕлĕшпе пĕр-пĕрне тивĕçтерекен объектсемпе пулса иртет;
  • вăл шутра матрицăна вектор-юпа çине тата вектор-йĕркене матрица çине хутлани (матрицăсене хутлассин йĕркевĕсемпех; çапла вара кунта вектор матрицăн уйрăм тĕслĕхĕ пек палăрать;
• Матрицăна тĕп ункăн е уйăн элеменчĕ (скаляр) çине хутлани.

Хушасси тĕлĕшпе матрицăсем Абель ушкăнĕ пулса тăраççĕ; кун çумне скаляр çине хутланине хушсан, матрицăсем тивĕçлĕ ункă çийĕн (уй çийĕн векторла уçлăх) модуль пулаççĕ. Тăваткал матрицăсен йышĕ матрицăсене хутласси тĕлĕшпе хупă, çавна кура пĕр хапаллă тăваткал матрицăсем матрицăсене хушасси, хутласси енĕпе пĕрчĕллĕ тата ассоциативлă ункă пулаççĕ.

Ăçта усă кураççĕ-ха матрицăсемпе? Чи ансат та ăнланмалла тĕслĕх ак çакăн пек пулма пултарать. Матрицăсене линилле алгебрăлла танлăхсене тата дифференциаллă танлăхсене компактлăн çырмашкăн усă курма май пур. Вара матрицăн йĕркисем танлăхсен шучĕпе, юписем — улшăнавçăсен (аргументсен) шучĕпе тĕл килеççĕ. Ĕнтĕ танлăхсен тытăмĕсене шутлассине, мая килтерсе, матрицăсемпе операцисем тăвасси патне илсе пыма пулать.

Матрицăсене паллă тăвасси

Матрицăна анлăн (кĕскетмесĕр) паллă тумалли çакнашкал меслетсем пур:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},\quad \left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right],\quad \left\|{\begin{array}{ccccc}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right\|$

Ĕнтĕ курма пулать çаврака хăлăпкасемпе паллă тунине «(…)», тăваткал хăлăпкасемпе паллă тунине «[…]». Сайрарах, анчах та пурпĕрех курма пулать икĕ тÿрĕ йĕрпе паллă тунине те «||…||»).

Матрица йĕркесенчен тата юпасенчен тăрать, çапла вара:

$a_{i\cdot }=A_{i}=[{\begin{array}{ccccc}a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\end{array}}]$ — ку $A$ матрицăн $i$-мĕш йĕрки,

$a_{\cdot j}=A^{j}=\left[{\begin{array}{c}a_{1j}\\\vdots \\a_{ij}\\\vdots \\a_{mj}\\\end{array}}\right]$ — ку $A$ матрицăн $j$-мĕш юпи.

Çапла ентĕ, матрицăна йĕркисем тăрăх та, юписем тăрăх та курăмлама пулать:

$A=[{\begin{array}{ccccc}A^{1}&\cdots &A^{j}&\cdots &A^{n}\\\end{array}}]$ = $\left[{\begin{array}{c}A_{1}\\\vdots \\A_{i}\\\vdots \\A_{m}\\\end{array}}\right]$.

Кунашкал паллă туни матрицăсем пирки, терминологи енчен, йĕркесен тата юпасен чĕлхипе калаçма май парать.

Вуламалли

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
• Биркгоф Г. (Garrett Birkhoff), Барти Т. (Thomas C. Bartee) Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. — 400 с.
• Ван дер Варден Б. Л. (B. L. van der Waerden) Алгебра. (2-е изд.) — М.: Наука, 1979. — 624 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
• Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9

Тăваткал матрицăн ячĕ	Йĕркесен, юпасен шучĕ n = 3 чухнехи тĕслĕх
Диагоналлĕ матрица	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
Аялти виçкĕтеслĕхлĕ матрица	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
Çÿлти виçкĕтеслĕхле матрица	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Ланкастер П. (P. Lankaster) Теория матриц / Пер. с англ. — 2-е изд. — М.: Наука, 1982. — 272 с.; 1-е изд. — М.: Наука, 1973 (djvu).
• Ленг С. (Serge Lang) Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976. — 560 с.
• Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu).
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с. — ISBN 5-03-001042-4
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.

Каçăсем

Матрица (математика) пирки тăванлă проекчĕсенче нумайрах тупма пултаратăр: Сăмах пĕлтерĕшĕ Викисăмахсарта

Кĕнекесем Викикĕнекере
Пĕрлехи ӳкерчĕксемпе медиа-файлсем Викиçӳпçере

Вĕренӳ валли ресурсем Викиверситетра

• MacTutor: Matrices and determinants
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors
• matrixcalc (Matrix Calculator), <https://matrixcalc.org/en/> 
• SimplyMath (Matrix Calculator), <https://simplemath.online/linear-algebra/matrix-and-vector.html> 
• Free C++ Library, <https://github.com/nom-de-guerre/Matrices> 
• Xiao, Gang, Matrix calculator, <http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en>. Проверено 10 Раштав уйӑхӗн 2008. 
• Online matrix calculator (ZK framework), <http://matrixcalc.info/MatrixZK/>. Проверено 26 Чӳк уйӑхӗн 2009. 
• Oehlert, Gary W. & Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, <http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html>. Проверено 10 Раштав уйӑхӗн 2008. , a freeware package for matrix algebra and statistics
• Online matrix calculator, <https://www.idomaths.com/matrix.php>. Проверено 14 Раштав уйӑхӗн 2009. 
• Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)
• Matrix operations widget in Wolfram|Alpha