Иккĕмĕш тăхăм

Иккĕмĕш тăхăм, е $f$ функцин иккĕмĕш шайри тăхăмĕ, вăл $f$ функцин тăхăмĕн тăхăмĕ пулса тăрать. Иккĕмĕш тăхăм капăн улшăну хăвăртлăхĕ еплерех улшăннине кăтартать теме пулать; сăмахран, объектăн вăхăт майăн пулакан вырăнĕн иккĕмĕш тăхăмĕ вăл çав объектăн самантлăх хăвăртланăвĕ е объектăн вăхăт майăн пулакан хăвăртлăхĕн улшăнăвĕн хăвăртлăхĕ. Лейбниц нотацийĕпе килĕшÿллĕн:

Тăваткалла функцин иккĕмĕш тăхăмĕ улшăнми

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},$

кунта $a$ — хăартлану, $v$ — хăвартлăх, $t$ — вăхăт, $x$ — объектăн вырăнĕ, d — самантлăх «дельта» е самантлăх улшăну. Юлашки ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ каланăлăх $(x)$ вырăнăн вăхăт тĕлĕшĕнчи тăхăмĕ.

Паллă тăвасси

Пĕр-пĕр $f(x)$ функцин иккĕмĕш тăхăмĕ $f''(x)$. Урăхла каласан:

$f''=\left(f'\right)'$.

Лейбниц нотацийĕпе усă курсан, çыхăннă $y$ улшăнавçăн çыхăнман $x$ улшăнавçă тĕлĕшĕнчи харпăр иккĕмĕш тăхамĕ ак çапла çырăнать:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Ку вара ак çак формулăран килсе тăрать:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Капашлă функцин иккĕмĕш тăхăмĕ

Икĕ хут тăхăма илсен, иккĕмĕш тăхăмăн формули пулать:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

Тĕслĕх

Ак çакнашкал функци панă

$f(x)=x^{3},$

$f$ функцин тăхăмĕ

$f^{\prime }(x)=3x^{2}.$

Иккĕмĕш тăхăм $f$ фунцин $f^{\prime }$ тăхăмне тепĕр хут дифференцилесен пулать

$f^{\prime \prime }(x)=\left(f'\left(x\right)\right)'=6x.$

Çавăн пекех

• Вĕçсĕр мар расналăх
• Пăнчăн хутланчăклăхне тĕрĕслесси^[en]
• Хутăш тăхăмсен танлăхĕ

Литература

Пичет ресурсĕсем

• Anton, Howard; Bivens, Irl & Davis, Stephen (2005-02-02), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, <https://archive.org/details/calculus01apos> 
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5, <https://archive.org/details/calculus01apos> 
• Eves, Howard (1990-01-02), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P. & Edwards, Bruce H. (2006-02-28), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James (2002-12-24), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7, <https://archive.org/details/calculus0000stew> 
• Thompson, Silvanus P. (1998-09-08), Calculus Made Easy^[en] (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0 

Интернетра пур кĕнекесем

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus, <http://www.lightandmatter.com/calc/> 
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus, <http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/> 
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus, <http://www.understandingcalculus.com/> 
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, <http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html> 
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, <http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html> 
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations, <http://synechism.org/drupal/de2de/> 
• Strang, Gilbert (1991), Calculus, <http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm> 
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, <http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm> 
• Wikibooks, Calculus, <http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus> 

Каçăсем

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек