Ньютон биномĕ

Нью́то́н биномĕ — икĕ улшăнавçăн тулли тата минуслă мар капашне уйрăм хушăнакансем пек кăтартакан формула, вăл çакăн пек курăнать

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}$

кунта ${n \choose k}\equiv C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ — биномла коэффициентсем, $n$ — минуслă мар тулли хисеп.

Формулăн çакнашкал курăмĕ Индири тата Персири математиксене те паллă пулнă; Ньютон вара бином формулине капаш кăтартăшĕ хуть те мĕнле чăн хисеп чухнехи тĕслĕхсем тĕлешпе анлăлатнă (каярахпа вара комплекслă хисепсем тĕлĕшпе тĕрĕçси те курăннă). Чи пĕтĕмĕшле тĕслĕхре Ньютон биномĕ вĕçсĕр рет пек çырăнать.

Тĕслĕхсем.

${\begin{aligned}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2}\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\\[8pt]\end{aligned}}$

Çавăн пекех

• Биномла валеçӳсем
• Биномла коэффициент
• Паскаль виçкĕтеслĕхĕ
• Полиномсене кĕскетсе хутлассин — Ньютон биномĕн час-час тĕл пулакан тĕслĕхĕсем

Литература

• Бином Ньютона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб.: 1890—1907.

Каçăсем

• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.