Кронекер хутлавлăхĕ

Кронекер хутлавлăхĕ — хуть те мĕнле хапаллă матрицăсемпе те тăвакан бинарлă операци, ăна $\otimes$ символпа паллă тăваççĕ. Асăннă операци хыççăн, результат пек, блокла матрица пулать.

Кронекер хутлавлăхне матрицăсене хутлассипе пăтраштармалла мар. Операцие Леопольд Кронекер нимĕç математикĕ ячĕпе çапла калаççĕ.

Енчен те A — m×n хапаллă матрица, B — p×q хапаллă матрица пулсан, вара çавсен Кронекер хутлавлăхĕ mp×nq хапаллă блокла матрица пулать

$A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.$

Сарăмласа кăтартсан

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Енчен те A тата B, — килĕшÿллĕн, — линилле V₁ → W₁ тата V₂ → W₂ трансформацисене кăтартаççĕ пулсан, вара A ⊗ B икĕ V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂ куçарăвăн тензорла хутлавĕ пулать.

Тĕслĕх —

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot 7&4\cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}$.

Литература

• Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.

Каçăсем

• Kronecker product.
• New Kronecker product problems.
• Earliest uses. The entry on the Kronecker, Zehfuss, or Direct Product of matrices has historical information.
• Kronecker product (31 December 2020). Software source in more than 40 languages.